무차별 곡선

3. 가정 및 공리

파레토, 프랜시스 이시드로 에지워스 등에 의해 20세기 초에 발전된 무차별 곡선은 소비자의 효용을 서수적 효용이론으로 설명한다. 개인은 언제나 선호도에 따라 소비의 순서를 매길 수 있다는 가정에서 출발한다.^[6]

무차별 곡선 이론에서는 다음의 공리들을 설정하고, 이들이 참이라고 가정하면 효용함수 $u=u(x,y)$를 만들 수 있다.

• 완비성(Completeness): 소비자는 두 가지 재화 조합이 주어졌을 때, 어느 한쪽을 더 선호하거나 양쪽이 동일하게 좋다고 판단할 수 있다. 즉, 모든 조합에 대해 선호도를 비교할 수 있다.^[8]
• : 두 재화 ''x''와 ''y''를 각각 포함하는 두 개의 소비 묶음 ''A''와 ''B''가 있다고 가정해 보자. 소비자는 다음 중 단 하나만 분명하게 결정할 수 있다.

• 이행성(Transitivity): 재화 조합 X, Y, Z가 있을 때, X를 Y보다 선호하고 Y를 Z보다 선호하면, X를 Z보다 선호한다. 이는 소비자의 선호가 일관성이 있다는 것을 의미한다.^[8]
• : $(X\; \backslash succeq\; Y)\; \backslash land\; (Y\; \backslash succeq\; Z)\; \backslash implies\; X\; \backslash succeq\; Z$
• 연속성(Continuity): 선호는 연속적으로 변화하며, 갑작스러운 변화는 나타나지 않는다.

• 강단조성(Strong monotonicity): 두 재화 조합 중 한 조합이 다른 조합보다 적어도 하나의 재화를 더 많이 포함하고 있고, 다른 재화의 양은 같거나 더 많다면, 더 많은 재화를 포함한 조합을 선호한다. 단, 쓰레기와 같은 비재화는 이 공리가 성립하지 않을 수 있다.

• $a\backslash succeq\; b\backslash ;$ : '$a\backslash ;$가 $b\backslash ;$보다 약하게 선호된다.'
• $a\backslash sim\; b\backslash ;$ : '$a\backslash ;$와 $b\backslash ;$는 무차별하다.'
• $a\backslash succ\; b\backslash ;$ : '$a\backslash ;$가 $b\backslash ;$보다 강하게 선호된다.'

4. 무차별 곡선의 특징

무차별 곡선은 다음과 같은 특징을 갖는다.

• 선호체계의 완비성에 따라 언제든지 무차별곡선을 그릴 수 있으며, 이행성에 따라 무차별곡선은 절대 교차하지 않는다.^[17]
• 강단조성 공리를 가정하는 경우, 무차별 곡선은 원점에서 멀수록 높은 효용을 나타낸다.^[17]
• 한계대체율이 체감하는 경우, 무차별 곡선은 원점을 향하여 볼록한 형태를 취한다.^[20]
• 재화의 대체 또는 보완 관계에 따라 무차별곡선의 모양이 달라진다. 완전대체재인 경우 무차별곡선이 직선 형태로 그려지고, 완전보완재인 경우에는 무차별곡선이 L자형으로 그려진다. 일반적으로 대체성이 높은 재화에 대해서는 직선에 가까운 형태를 보이고, 보완적인 재화에 대해서는 곡률이 큰 형태를 보인다.^[18]

5. 응용

소비자 이론은 예산 제약과 무차별 곡선을 사용하여 수요와 공급의 소비자 수요 곡선을 생성한다. 단일 소비자의 경우, 한 재화를 예시 시장(예: 당근)으로 하고 다른 재화를 다른 모든 재화의 조합으로 하는 비교적 간단한 과정이 사용된다. 예산 제약은 두 재화 사이의 가능한 모든 분포를 보여주는 무차별 지도에서 직선으로 나타난다. 최대 효용 지점은 무차별 곡선이 예산선에 접하는 지점이다(그림 참조).^[10]

이는 시장이 가계보다 재화를 더 높게 평가하면 가계는 재화를 판매하고, 시장이 가계보다 재화를 더 낮게 평가하면 가계는 재화를 구매하는 상식적인 원리에 기반한다. 이 과정은 시장과 가계의 한계 대체율이 같아질 때까지 계속된다.^[10]

당근 가격이 변하고 다른 모든 재화의 가격이 일정하게 유지되면 예산선의 기울기가 변하여 다른 접점과 다른 수요량이 발생한다. 이러한 가격/수량 조합을 통해 완전한 수요 곡선을 추론할 수 있다.^[10]

두 재화 간의 서로 다른 가격 비율을 나타내는 일련의 무차별 곡선은 재화-재화 벡터 공간에서 가격-소비 곡선을 생성하는 데 사용되며, 이는 재화-가격 벡터 공간의 수요 곡선과 동일하다. 예산 제약이 변동함에 따라 무차별 곡선과 예산 제약 사이의 모든 접점을 연결하는 선을 확장 경로라고 부르며,^[11] 수요 변화와 관련이 있다. 두 재화의 가격이 변동함에 따라 무차별 곡선과 예산 제약 사이의 모든 접점을 연결하는 선은 가격-소비 곡선이며, 수요 곡선을 따라 이동하는 것과 관련이 있다.

그림 1에서 소비자는 ''I₂''보다 ''I₃''에 있는 것을 선호하고, ''I₁''보다 ''I₂''에 있는 것을 선호하지만, 주어진 무차별 곡선 상의 위치는 상관하지 않는다. 경제학자들이 한계 대체율이라고 부르는 무차별 곡선의 기울기(절댓값)는 소비자가 다른 재화를 더 얻기 위해 기꺼이 포기하려는 한 재화의 비율을 보여준다. '대부분'의 재화에 대해 한계 대체율은 일정하지 않으므로 무차별 곡선은 곡선 형태를 띤다. 곡선은 원점에 대해 볼록하며, 음의 대체 효과를 나타낸다. 고정된 소득에서 가격이 상승하면 소비자는 더 낮은 무차별 곡선에서 덜 비싼 대체재를 찾는다. 대체 효과는 더 낮은 실질 소득의 소득 효과를 통해 강화된다 (Beattie-LaFrance). 이러한 종류의 무차별 곡선을 생성하는 효용 함수의 예는 콥-더글러스 함수 $\backslash scriptstyle\; U\backslash left(x,y\backslash right)=x^\backslash alpha\; y^\{1-\backslash alpha\; \},\; 0\; \backslash leq\; \backslash alpha\; \backslash leq\; 1$이다. 무차별 곡선의 음의 기울기는 소비자가 거래를 기꺼이 하려는 의지를 나타낸다.^[9]

두 재화가 대체재인 경우, 소비자가 고정된 비율로 전환하려는 의지가 있으므로 무차별 곡선은 일정한 기울기를 갖는다. 완전 대체재 간의 한계 대체율도 마찬가지로 일정하다. 이러한 무차별 곡선과 관련된 효용 함수의 예는 $\backslash scriptstyle\; U\backslash left(x,y\backslash right)=\backslash alpha\; x\; +\; \backslash beta\; y$이다.

두 재화가 보완재인 경우 무차별 곡선은 L자형이 된다. 완전 보완재의 예로는 왼쪽 신발과 오른쪽 신발이 있다. 소비자는 왼쪽 신발이 하나뿐인데 오른쪽 신발이 여러 켤레 있다고 해서 더 나아지지 않는다. 추가적인 오른쪽 신발은 더 많은 왼쪽 신발 없이는 한계 효용이 0이므로, 포함된 오른쪽 신발의 수에만 차이가 있는 재화 묶음은 (얼마나 많든) 동등하게 선호된다. 한계 대체율은 0 또는 무한대이다. 위와 같은 무차별 지도를 가진 효용 함수의 예는 레온티예프 함수이다: $\backslash scriptstyle\; U\backslash left(x,y\backslash right)=\; \backslash min\; \backslash \{\; \backslash alpha\; x,\; \backslash beta\; y\; \backslash \}$.

곡선의 서로 다른 모양은 소비자 이론의 수요 분석에서 보여지는 것처럼 가격 변화에 대한 서로 다른 반응을 의미한다. 소비자를 동일한 무차별 곡선에서 균형 상태로 유지하는 가격-예산선 변화는 다음과 같다.

• 그림 1에서는 해당 재화의 가격이 상대적으로 상승함에 따라 재화의 수요량이 부드럽게 감소한다.
• 그림 2에서는 (예산 제약의 한쪽 끝에서) 두 재화의 수요량에 아무런 영향이 없거나, 예산 제약의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 수요량이 변경된다.
• 그림 3에서는 무차별 곡선의 모서리를 중심으로 예산선이 회전하기 때문에 균형 수요량에 아무런 영향이 없다.

6. 비판

무차별 곡선은 일반적으로 효용에 대한 비판을 따른다.

허버트 호벤캠프는 부존 효과의 존재가 특히 후생 경제학과 관련하여 법과 경제학에 중요한 영향을 미친다고 주장했다. 그는 부존 효과가 존재하면 사람이 무차별 곡선을 갖지 않음을 나타낸다고 주장하며(Hanemann, 1991^[14] 참조), 신고전학적 후생 분석 도구를 무용지물로 만들고 법원이 대신 가치 척도로 WTA를 사용해야 한다고 결론 내렸다.^[13] 그러나 윌리엄 피셜(1995)은 WTA를 가치 척도로 사용하는 것은 국가의 기반 시설 개발과 경제 성장을 저해할 것이라는 반론을 제기했다.^[15]

오스트리아 경제학자 머레이 로스바드는 무차별 곡선을 "실제 교환에서 정의상 결코 나타나지 않으며, 따라서 알 수 없고 객관적으로 무의미하다"고 비판했다.^[16]

참조

_[1] 서적 The New Palgrave: A Dictionary of Economics
_[2] 서적 The New Palgrave: A Dictionary of Economics
_[3] 서적 Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences http://onlinebooks.l[...] C. Kegan Paul and Co.
_[4] 서적 Manuale di Economia Politica — con una Introduzione alla Scienza Sociale https://archive.org/[...] Societa Editrice Libraria
_[5] 웹사이트 Indifference curves {{!}} Policonomics https://policonomics[...] 2018-12-08
_[6] 웹사이트 William Stanley Jevons - Policonomics http://www.policonom[...] 2018-03-23
_[7] 서적 Microeconomics with Calculus Addison-Wesley
_[8] 서적 Microeconomics: Theory & Applications with Calculus Addison-Wesley
_[9] 서적 The Structure of Economics: A Mathematical Analysis McGraw-Hill
_[10] 서적 An Introduction to Positive Economics Weidenfeld & Nicolson
_[11] 서적 Schaum's Outline of Theory and Problems of Managerial Economics McGraw-Hill
_[12] 서적 Microeconomics with Calculus Addison-Wesley
_[13] 간행물 Legal Policy and the Endowment Effect 1991
_[14] 간행물 Willingness To Pay and Willingness To Accept: How Much Can They Differ? Reply 1991
_[15] 간행물 The offer/ask disparity and just compensation for takings: A constitutional choice perspective 1995
_[16] 서적 The Ethics of Liberty New York University Press 1998
_[17] 문서 이준구
_[18] 서적 미시경제학 시그마프레스 2016
_[19] 문서 이근영
_[20] 문서 이근영